Estadistica: UNIDAD 2

ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS

OBJETIVOS PARTICULARES DE LA UNIDAD

Explicar los diferentes métodos para la estimación de un parámetro población. Estimaciones puntuales y estimaciones por intervalos.

TEMAS

2.1 Teorema del límite central.

2.2 Estimación en poblaciones Normales N(µ, σ 2) .
2.3 Varianza σ 2 es desconocida.

2.4 Intervalo de confianza para la diferencia de medias con σ1 y σ2 conocidas.

2.5 Intervalos de confianza de una proporción y de la diferencia de proporciones.

2.1 Teorema del límite central.

El teorema del límite central es un teorema fundamental de probabilidad y estadística. El teorema describe la distribución de la media de una muestra aleatoria proveniente de una población con varianza finita. Cuando el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande, la distribución de las medias sigue aproximadamente una distribución normal. El teorema se aplica independientemente de la forma de la distribución de la población. Muchos procedimientos estadísticos comunes requieren que los datos sean aproximadamente normales. El teorema de límite central le permite aplicar estos procedimientos útiles a poblaciones que son considerablemente no normales. El tamaño que debe tener la muestra depende de la forma de la distribución original.

Para el trabajo en tablas de la distribución normal es conveniente tener en cuenta las siguientes consideraciones:

2.2 Estimación en poblaciones Normales N(µ, σ 2)

1.2 Estimación en poblaciones Normales N(µ, σ 2 )

Una v.a. X ∼ N(µ, σ 2 ) queda caracterizada por dos parámetros: la media µ y la varianza σ 2 (o la desviación típica σ ). A continuación, introduciremos los estimadores para estos parámetros y sus distribuciones en el muestreo. Es importante resaltar que tanto para la estimación de µ como de σ 2, debemos tener en cuenta el efecto del tamaño muestral y además, al estimar la media, también debemos ver si la varianza poblacional es conocida o desconocida.

Estimación de la media µ.

Supongamos que disponemos de X1, . . . , Xn una m.a.s. de X ∼ N(µ, σ 2).

La media poblacional µ se puede estimar con la media muestral X = 1 n Xn i=1 Xi , cuya distribución en el muestreo también es Normal:

Además, dado que tenemos una Normal, podríamos tipificarla y obtener una N(0, 1):

La distribución es consecuencia de que la suma de variables Normales es también una variable Normal. Este resultado es válido si la varianza poblacional σ es conocida. Esta distribución se puede interpretar de la siguiente forma:

X se distribuye simétricamente (ya que su distribución es Normal) alrededor de su media, que es E(X)= µ la media poblacional o teórica.

El tamaño muestral aparece dividiendo en la varianza, con lo que, al aumentar n, la distribución de X se concentra más alrededor de µ Los histogramas y las correspondientes densidades normales, están centrados en la media real de la población de la población, pero se puede apreciar que la concentración alrededor de este valor aumenta con el tamaño muestral.

2.3 Varianza σ 2 es desconocida

No podemos utilizar la distribución obtenida en, y debemos substituir σ 2 por un estimador. La varianza σ 2 puede ser estimada por la varianza muestral:

Estos estimadores se verán con más detalle en la siguiente sección. Entonces, si queremos estimar la media µ a partir de una m.a.s. X1, . . . , Xn y no conocemos la varianza, en la expresión

donde tn−1 denota una distribución T-Student, con (n − 1) grados de libertad. Esta distribución es simétrica y se aproxima a la N(0, 1) para n suficientemente grande.

2.4 Intervalo de confianza para la diferencia de medias con σ1 y σ2 conocidas.

Es un intervalo de confianza para µ1 − µ2 de nivel de confianza 1 − α.

Análogo resultado se obtiene, reemplazando σ por S, en el caso en que las varianzas poblacionales sean desconocidas pero los tamaños de ambas muestras sean los suficientemente grandes (n, m ≥ 15). En el caso de tamaños muestrales grandes, también se puede prescindir de la hipótesis de normalidad y utilizar el Teorema Central del Límite, como después se comentara en más detalle.

2.5 Intervalos de confianza de una proporción y de la diferencia de proporciones

Supongamos una población B(1, p) y consideremos una muestra aleatoria de tamaño suficientemente grande, es decir, realizamos un numero grande de repeticiones independientes del experimento de Bernoulli que estamos considerando y queremos obtener un intervalo de confianza para el parámetro p. Aplicando el Teorema Central del Limite se tiene que

Luego el intervalo de confianza para el parámetro p a nivel 1 − α será,

Igualmente se puede obtener un intervalo para la diferencia de proporciones poblacionales en base a dos muestras independientes de tamaño n1 y n2 de cada una de las poblaciones B(1, p1) y B(1, p2), respectivamente. El intervalo final seria